OMC180(B) - 計算はやや重いが思いつきやすそう？な解法

　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とする. $$\angle CRB=\angle CQB=90^{\circ},　\angle HQC=\angle CPH=90^{\circ}$$ より $R, Q, B, C$ と $Q, H, P, C$ はそれぞれ共円なので，$$\angle RQH=\angle RCB=\angle HCP=\angle HQP,　\angle RBQ=\angle RCQ=\angle HCQ=\angle HPQ$$ より，三角形 $HPQ$ と $RBQ$ は相似. よって，$QH×QB=QP×QR=168$. また，$\angle PQR=90^{\circ}$ が三平方の定理の逆から得られる．$$\angle RBP=90^{\circ}-\angle BCR=90^{\circ}-\angle BQR=90^{\circ}-\angle PQR/2=45^{\circ}.$$ よって，$PR=BH\sin 45^{\circ}$ より，$BH=25\sqrt 2$. これと $QH×QB=QR×QP=168$ より，$QH=3\sqrt 2$. また，三角形 $AHC$ と三角形 $ADC$ は合同なので，$QD=3\sqrt 2$. さらに，$\angle BAH=\angle HCB=45^{\circ}$ より，$RA=RH, RC=RB$ だから，三角形 $RAC$ と三角形 $RHB$ は合同. よって，$AC=HB=25\sqrt 2$. したがって，四角形 $ABCD$ の面積は，$AC×BD/2=25\sqrt 2×31\sqrt 2/2=\textbf{775}$.