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OMC179 (for beginners)

OMC179(F)

ユーザー解説 by shakayami

1つめの式 (y−z)2+3x2=25(y-z)^2+3x^2=25

2つめの式 (z−x)2+3y2=49(z-x)^2+3y^2=49

3つめの式 (x−y)2+3z2=64(x-y)^2+3z^2=64

1つめの式から2つめの式を引くと (y−z)2+3x2−(z−x)2−3y2=25−49=−24(y-z)^2+3x^2-(z-x)^2-3y^2=25-49=-24 実は因数分解できる. 2(x+y+z)(x−y)=−242(x+y+z)(x-y)=-24 (x+y+z)(x−y)=−12(x+y+z)(x-y)=-12

他のペアについても同様にすると (x+y+z)(y−z)=−152(x+y+z)(y-z)=-\dfrac{15}{2} (x+y+z)(z−x)=392(x+y+z)(z-x)=\dfrac{39}{2}

ここで,x+y+z=kx+y+z=kとおく.

k2k^2を求めればOK

x−y=−12k,y−z=−152k,z−x=392kx-y=-\dfrac{12}{k},y-z=-\dfrac{15}{2k},z-x=\dfrac{39}{2k}

最初の式をすべて足す

(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2+3(x2+y2+z2)=25+49+64=138(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3(x^2+y^2+z^2)=25+49+64=138

このとき,簡単な計算より,左辺は

(x+y+z)2+2(y−z)2+2(z−x)2+2(z−x)2(x+y+z)^2+2(y-z)^2+2(z-x)^2+2(z-x)^2

と等しいことが分かる.

よって,

k2+5762k2+2252k2+15212k2=138k^2+\dfrac{576}{2k^2}+\dfrac{225}{2k^2}+\dfrac{1521}{2k^2}=138

まとめると

k2+1161k2=138k^2+\dfrac{1161}{k^2}=138

k4−138k2+1161=0k^4-138k^2+1161=0

1161=33×431161=3^3\times 43に注意すると

(k2−9)(k2−129)=0(k^2-9)(k^2-129)=0

ここで,k2=9k^2=9であるならば,

(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)=9(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)=9 5(x2+y2+z2)−2(xy+yz+zx)=1385(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)=138 であるため, x2+y2+z2=492,xy+yz+zx=−314<0x^2+y^2+z^2=\dfrac{49}{2},xy+yz+zx=-\dfrac{31}{4}\lt 0 となって,x,y,zx,y,zが正の実数であることに矛盾.

よって,k2=129k^2=129でなくてはいけない.