OMC179(F)

　$x=q+r, y=r+p, z=p+q$ とすれば，条件式は $$q^2+qr+r^2=\frac{25}{4},\quad r^2+rp+p^2=\frac{49}{4},\quad p^2+pq+q^2=16$$ と置き換えられる．ここで，$X$ を中心とする一辺 $\sqrt3$ の正三角形 $ABC$ に対して， $$\overrightarrow{XP} = p\overrightarrow{XA},\quad \overrightarrow{XQ} = q\overrightarrow{XB},\quad \overrightarrow{XR} = r\overrightarrow{XC}$$ となるように $3$ 点 $P, Q, R$ をとると，$QR=5/2, RP = 7/2, PQ=4$ となる．また，直線 $QR$ について点 $P$ と反対側に点 $S$ を，三角形 $QRS$ が正三角形となるように取れば， $$p+q+r=XP+XQ+XR=PS$$ となる．$\angle PQR =60^\circ,QS=QR=5/2$ であるから， $$PS=\sqrt{PQ^2 + QS^2 + PQ\times QS} = \frac {\sqrt{129}} 2$$ となるので，$x+y+z=2(p+q+r)=\sqrt{129}$ であるから，求める値は $\mathbf {129}$ である．