OMC179(D)

　与式を $f(x)$ とすると，倍角の公式を用いて， $$f(x) = \frac{1}{4}(1 + \cos x)^2 + \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{4}(1 + \cos x)^2 + \frac{1}{2(1 + \cos x)} + \frac{1}{2(1 + \cos x)}$$ と変形できる．従って，$1 + \cos x \gt 0$ であるから，相加相乗平均の不等式より $$f(x) \ge 3\bigg(\frac{1}{4}(1 + \cos x)^2\times \frac{1}{2(1 + \cos x)}\times \frac{1}{2(1 + \cos x)}\bigg)^{1/3} = \bigg(\frac{27}{16}\bigg)^{1/3}$$ であり，等号は $\cos x = 2^{1/3} - 1$ のときに成立する．以上より，$P(x) = x^3 - \dfrac{27}{16}$ であるから，$P(100) = \dfrac{15999973}{16}$ であり，特に解答すべき値は $\bf{15999989}$ である．