OMC175(E)

　以下, 三角形 $ABC$ の外接円の半径を$R$, 内接円の半径を $r$, $CI = x$ とする. まず, オイラーの定理より, $R^{2} - 2Rr = OI^{2} = 400$ が従う. また, $∠BIC = 150^{\circ}$ であることから, 余弦定理を用いることで, $x^{2} + 841 + 29\sqrt{3}x = BC^{2} = 3R^{2}$ が従う. ($BC = \sqrt{3}R$ は $OB = OC = R, ∠BOC = 120^{\circ}$ から分かる.) そして, 三角形 $BIC$ の面積を $2$ 通りで表すことで, $\sqrt{3}Rr = \cfrac{29x}{2}$ も従う. 未知数が $3$ つ, 式が $3$ つなので, 後はこれを解けばよく, 計算すると $x = \sqrt{359}$ が求まるので, $x^{2} + 841 + 29\sqrt{3}x = BC^{2}$ に代入すると, $BC^{2} = 1200 + 29\sqrt{1077}$ が得られる.