OMC175(E)

　 $\angle BAC=120^\circ$ であることから次を得る．

$$\angle BIC=150^\circ , \quad \angle BOC=120^\circ$$

　ここで，直線 $OC$ に関して $B$ と反対側に点 $D$ を，三角形 $BOI$ と三角形 $COD$ が合同となるようにとる．このとき，$\angle DCI=90^\circ, \angle IOD=120^\circ$ であるから，

$$IB^{2}+IC^{2}=CD^{2}+IC^{2}=DI^{2}= \bigl (20 \sqrt{3} \bigr )^{2}=1200$$

これより $IC=\sqrt{359}$ を得るから，三角形 $IBC$ について余弦定理を適用すれば，

$$BC^{2}=1200 +29 \sqrt{1077}$$

　したがって，解答すべき値は $\mathbf{2306}$ である．