OMC174(E)

点数: 600

Writer: sakurano

　凸 $200$ 角形 $\mathcal P$ があり，どの $3$ 本の対角線も頂点以外の $1$ 点で交わりません．$\mathcal P$ の辺または対角線にあたる線分のうち相異なる $100$ 本を，どの $2$ 本も端点を共有しないように選び，一度に赤色で塗ります．さらに，赤い線分のうち，ちょうど奇数本の赤い線分と交わるものを，すべて一度に青色で塗り替えます．このとき，はじめに赤色に塗る $100$ 本の線分の選び方すべてについて，青い線分同士の交点の個数の（相加）平均を求めてください．
　ただし，求める値は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．また，線分を選ぶ際，回転や裏返しによって一致しうる線分であってもすべて区別するものとします．