OMC174(C)

　$1, 2, \ldots, 100$ の番号のついた頂点を用意し，番号の和が $101, 103, 105$ のいずれかである頂点の間に辺を張ることで（無向）グラフ $G$ を構成すると，$G$ は図1のようになる．ただし図1において， $$a_{2n-1}=4n-3,\quad a_{2n}=104-4n,\quad b_{2n-1}=4n-1,\quad b_{2n}=102-4n\quad (n=1, 2, \ldots, 25)$$ である．スコアが $7$ となるような $7$ 枚のカードの選び方は，頂点の個数が $7$，辺の本数が $7$ である $G$ の誘導部分グラフに対応し，その誘導部分グラフを図1の頂点の位置関係で考えたときの形は図2の (i)~(v) のいずれかである（それぞれ回転や反転したものも含む）．
　(i) は連結な $6$ 頂点の位置で場合分けして考えれば $91\times 2 + 90\times 45=4232$ 通り．また (ii)~(v) については反転および回転を考えると (ii) は $182$ 通り，(iii), (iv), (v) は $184$ 通りずつとわかる．
　以上より，求める場合の数は $\bm{4966}$ 通り．