OMC170(B)

公式解説とやっていることはあまり変わりませんが，形式的多項式を用いて解くことができます．

特に高難易度のC分野では形式的多項式・冪級数を用いると見通しがよくなることがあります．

$$f(x)=(1+x)^{1234}$$とおくと二項定理より $$f(x)=\sum_{k=0}^{1234} {}_{1234}\mathrm{C}_{k} x^k$$この式の両辺を微分すると $$f^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{1234} k{}_{1234}\mathrm{C}_{k} x^{k-1}$$ よって $$f^{\prime}(1)=\sum_{k=1}^{1234} k{}_{1234}\mathrm{C}_{k}$$ したがって最初の式を微分して$1$を代入すればよく $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{1234} k{}_{1234}\mathrm{C}_{k}&=\left. \frac{d}{dx}(1+x)^{1234} \right|_{x=1}\\ &=1234(1+1)^{1233}\\ &=1234×2^{1233}\\ &=617×2^{1234} \end{aligned}$$

ゆえに，解答すべき値は$\mathbf{2470}$である．