OMC168(D)

点数: 600

Writer: natu_math

　 $n$ を正の整数とし，$3n$ 個の正の整数 $a_i,b_i,c_i$ $(i=1,2,...,n)$ に対して，$O$ を原点とする座標平面上の $3n$ 個の点 $A_i(i,a_i),B_i(i,b_i),C_i(i,c_i)$ を考えます．点 $X$ の座標を $(n+1,0)$ とし，以下のように定めます：

• $n+2$ 個の点 $O,A_1,...,A_{n},X$を順に結んでできる折れ線：$\alpha$
• $n+2$ 個の点 $O,B_1,...,B_{n},X$を順に結んでできる折れ線：$\beta$
• $n+2$ 個の点 $O,C_1,...,C_{n},X$を順に結んでできる折れ線：$\gamma$

より厳密には，たとえば $\alpha$ は線分 $OA_1,A_1A_2,...,A_nX$ をつないで得られます．

　次の条件を満たす $3n$ 個の正の整数 $a_i,b_i,c_i$ $(i=1,2,...,n)$ の組は $M_n$ 個あります．

• $\gamma$ および $x$ 軸で囲まれる面積は $61^{45^{45}}$ である．
• $O,X$ を除いて $\alpha,\beta,\gamma$ はどの $2$ つも共有点を持たない．
• $a_1\lt b_1\lt c_1$ が成り立つ．

ただし，$61^{45^{45}} = 61^{(45^{45})}$です．このとき，$M_n$ を求め， $$\sum_{n=1}^{\left\lfloor 61^{45^{45}}/3 \right\rfloor}M_n$$ が $3$ で割り切れる回数を $i$ 回，$5$ で割り切れる回数を $j$ としたときの，$ij^2$ の値を解答してください．