OMC165(F)

　条件を満たすようにするとき，$i$ 行目に $2$ 個以上の駒を $a_{i, j_1}, a_{i, j_2}, ..., a_{i, j_n}\ (n \geq 2)$ に置くと，$j_1, j_2, ..., j_n$ 列目にはこれ以上の駒を置くことができない． このことから各行に置く駒の個数 $5$ つの中で， $2$ 以上であるものの総和は $5$ 以下でなければならない．各行に置く駒の個数のうち $2$ 以上であるものの内訳は以下 $7$ 通りである． $$\{5\}，\{4\}，\{3\}，\{2\}，\{3, 2\}，\{2, 2\}，\{\}$$

ただし最後の $\{\}$ は駒を $2$ 個以上置く行がないケースを表す．各ケースに対し，

• 駒を $2$ 個以上置く行の決め方は何通りか
• $2$ 個以上置く行に駒を並べる方法は何通りか
• $1$ 個以下置く行それぞれに対し，駒をどのマスにおくか，もしくは置かないかを決める方法は何通りか

を順に計算し，それらを乗ずればよい．（$\{\}$ のケースに限っては $3$ 番目のみ計算すればよい．）
　$7$ ケースに対しそれぞれ計算すると以下の通りになる． $$\begin{aligned} \{5\} &\rightarrow 5 \times {}_{5}\mathrm{C}_{5} \times 1^4 = 5 \\ \{4\} &\rightarrow 5 \times {}_{5}\mathrm{C}_{4} \times 2^4 = 400 \\ \{3\} &\rightarrow 5 \times {}_{5}\mathrm{C}_{3} \times 3^4 = 4050 \\ \{2\} &\rightarrow 5 \times {}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 4^4 = 12800 \\ \{3, 2\} &\rightarrow {}_{5}\mathrm{P}_{2} \times {}_{5}\mathrm{C}_{2} \times 1^3 = 200 \\ \{2, 2\} &\rightarrow {}_{5}\mathrm{C}_{2} \times \frac{5!}{2!2!} \times 2^3 = 2400 \\ \{\} &\rightarrow 6^5 = 7776 \\ \end{aligned}$$

ゆえに，条件を満たす駒の置き方の総数は $$5 + 400 + 4050 + 12800 + 200 + 2400 + 7776 = \mathbf{27631}$$

である．