OMC165(E)

$$p(a_1+\cdots+a_7) = p(p(a_1+\cdots+a_6) +a_7)=p(2a_7)$$ であり，同様にすることで $$p(a_1+\cdots+a_7) = p(2a_1)=\cdots=p(2a_7)$$ が分かる．従って $a_1\equiv \cdots \equiv a_7 \pmod 5$ が分かるので，$4$ 以下の非負整数 $k$ と $b_1\in \{0,1\}$ などを用いて $$a_1=5b_1+k,\quad a_2=5b_2+k,\quad\dots, \quad a_7=5b_7+k$$ とできる．これらが条件を満たす必要十分条件は $$p(2k) = p(a_1+\cdots+a_7) = p(5(b_1+\cdots+b_7+k)+2k)$$ を満たすことであり，これは $b_1+\cdots+b_7+k$ が偶数であることと同値．よって，$b_1, b_2,\ldots, b_6$ を自由に選べばそれに対応する $b_7$ が一意に定まるので，求める答えは $5\times 2^6 = \bf{320}$ である．