OMC165(D)

　$a = b = 1$ を代入することで，$f(1)=1$ が分かる．
　$(a,b) = (2,2), (2, 3), (3,2)$ をそれぞれ代入することで，以下が分かる． $$f(4)=f(2)^{f(2)}, \quad f(8)=f(2)^{f(3)},\quad f(9)=f(3)^{f(2)}$$ 従って $f(2) \leq 2$ であり， $$f(2)=1\implies f(3) \leq 10, \quad f(2)=2\implies f(3) \leq 3$$ である．また，$a,b$ のうち一方が $4$ 以上のときもう一方は $1$ であるから，上の不等式を満たすとき常に等式は成立する．さらに，$f(5),f(6),f(7),f(10)$ の値は独立に定まるから，求める答えは $$1×(10+3)×10^4= \bm{130000}$$ である．