OMC165(C)

　三角形 $AMC$ の外接円において，$\angle AMC=90^\circ$ より $AC$ は直径をなすから，$N$ はその中心である．よって，$AC = 2PN = 14$ である．また，線分 $BN$ と三角形 $AMC$ の外接円の交点を $Q$ とすれば，$PQ$ も直径であり，$BQ=BN-NQ=11-7=4$ を得る．このとき，方べきの定理より $BC^2/2=BQ\times BP=72$ であるから，$BC=12$ である．よって，三角形 $ABC$ の面積は $$\frac{1}{2}\times BC\times AM = \frac{1}{2}\times BC\times\sqrt{AC^2 - CM^2} = \sqrt{\textbf{5760}}$$ である．