OMC161(E)

一般に$m$人の生徒がいるとする．
ここで$m-1$人の生徒の割り当てが済んでいるとし，この時点で各公園に配置された生徒の数を$p_1,\cdots ,p_{1000}$とする．
このとき，もう$1$人を割り当てたときの$p_i$の$2$乗の総和の増加量の期待値について考える．
もう$1$人を公園$i$に割り当てた場合の増加量は$(p_i+1)^2-p_i^2=2p_i+1$だから増加量の期待値は，$$\frac{\sum_{i=1}^{1000}(2p_i+1)}{1000}=\frac{m-1}{500}+1$$ よって増加量の期待値は$p_1,\cdots ,p_{1000}$の値に依らないから，期待値の線形性より求める値は，
$$\sum_{i=0}^{2981}\left(\frac{i}{500}+1\right) =\frac{2981\cdot 2982}{1000}+2982=\frac{5935671}{500}$$ 特に解答すべき数値は$5935671+500=\mathbf{5936171}$である．