OMC161(E)

　求めるべきは各生徒を等確率にいずれかの公園に割り振るとしたとき, 順序づいた生徒同士のペア $(s_n, s_m) \ (n = m \ の場合も許す)$ であって, 生徒同士が同じ公園にいるペアの数の期待値である. そこで, 生徒同士が同じ公園にいるペアに対して $1$ のスコアを, そうでないペアに対して $0$ のスコアを与えるとしたとき, これはスコアの和の期待値となり, それはスコアの期待値の和に等しい. まず, $n \neq m$ のときはスコアが $1$ になる確率は, 異なる $2$ 人の生徒が同じ公園にいる確率なので, $\cfrac{1}{1000}$ であり, スコアの期待値も $\cfrac{1}{1000}$. また, $n = m$ の場合は必ずスコアが $1$ になるので, スコアの期待値も $1$. よって, 求めるべきは $2982 × 2981 × \cfrac{1}{1000} + 2982 × 1$.