OMC154(C)

この解説では，数列 $a$ を「任意の $n$ に対して、 $a_n$ が $P(x)$ の $n$ 次の係数が等しいようなもの」として定義します．

$n=9$ の場合で題意を満たすための条件を考えます． $(x+1)(x+2)\cdots(x+9)$ の $8$ 次の係数は $1+2+{\cdots}+9=45$ です．このことより， ${a_{8}} = 45 {\times} {a_{9}}+9= 459$ が必要条件であることが分かります．

続いて $n=8$ の場合を考えます． $(x+1)(x+2)\cdots(x+8)$ の $7$ 次の係数は $1+2+{\cdots}+8=36$ であり， $6$ 次の係数は $$\sum^{7} _ {i=1}\sum^{8} _ {j=i+1} ij = \frac{1}{2}{\times}\Biggl({\biggl(\sum^{8} _ {i=1}i\biggr)^2}-{\sum^{8} _ {i=1} i^2}\Biggr) =546$$ です．これを踏まえて考えると， ${a_{7}} = 546{\times}{a_{9}}+({a_{8}}-36{a_{9}}){\times}{36}+8 = \textbf{9032}$ であることが分かり，これが答えとなります．