OMC153(D)

　難易度に対して解説がいかつい気がするので噛み砕いた感じに書いてみます．本質は一緒です．

　数列の個数が指定されていないので，よくある下の問題みたいな感じで解きたいですね．

• 全ての数字が $1$ 以上 $10$ 以下である，$1$ つ以上の項からなる単調増加な数列はいくつ？

この問題では最初に数列 $\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\rbrace$ を考え，そこからそれぞれの数値について消す，消さないを選べばいいので $2^{10}-1=\boxed{1023}$ 個だと分かりますね．全部の項が消えるやつを引くのを忘れずに．(自戒)

　元の問題に戻りましょう．$a_k$ と $b_k$ の差として考えられる値が $0$ から $9$ まであって，それらが単調増加になればOK．で，差が $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ になる組はそれぞれ $10,18,16,14,12,10,8,6,4,2$ 個あるので，求める組の個数は以下のようになります． $$(10+1)(18+1)(16+1)\cdots(4+1)(2+1)-1=\boxed{でっかい数}$$ ここで，全部に $1$ を足しているのはその項を消すパターンを含めるためで，最後に引いてるのは全部の項が消えるパターンのやつです．これ忘れずに．(自戒)