OMC151(C) - 1 段ずつ処理

　$1 \times n \ \left(n \ge 2\right)$ の長方形を $1 \times 2$ と $1 \times 3$ のタイルのみで埋めることを考え，それぞれの枚数の組を以下のようにする．

• $n = 5m$ のとき $(m, m)$
• $n = 5m + 1$ のとき $(m - 1, m + 1)$
• $n = 5m + 2$ のとき $(m + 1, m)$
• $n = 5m + 3$ のとき $(m, m + 1)$
• $n = 5m + 4$ のとき $(m + 2, m)$

　いま $S_n$ を，上から $k$ 段目が $1 \times k$ の長方形になっている図形とみて，下の段から埋めていくことを考えると，$5$ 段ずつで $1 \times 2$ と $1 \times 3$ のタイルの枚数が等しくなる．したがって $S_{2021}$ の仮定の敷き詰め方について，$1$ 段目以外はすべて，同数の $1 \times 2$ と $1 \times 3$ のタイルで敷き詰められ，求める値は $$\frac25 \times \left(\frac{2022 \times 2021}2 - 1\right) + 1 = \bm{817293}.$$