OMC146(E)

　まず，方べきの定理より $EP\cdot ED=EX\cdot EY=EA\cdot EC$ であるから，$A,D,C,P$ は共円である．さらに $\angle AFC=\angle ADC=90^\circ$ であるから，$A,F,D,C,P$ は共円である．$\angle EDA=\angle ADF=90^\circ-\angle A$ であるから，$AF=AP$ であり，$P$ は直線 $AC$ に関して $F$ と対称な点である．同様に，$Q$ が直線 $AB$ に関して $E$ と対称な点であることもわかる．$D,P,R,Q$ は共円であり，$\angle PDR=\angle RDQ=90^\circ-\angle A$ であるから，$RQ=RP, \angle QRD =2\angle A$ をみたす．よって三角形 $QPR$ と $QEA$ は相似である．したがって三角形 $QAR$ と $QEP$ は相似であり，$QE=\frac{AQ\cdot EP}{AR}$ を得る．すると $$\sin \angle EFA=\frac{QE/2}{EF}=\frac{AQ\cdot EP}{2\cdot EF\cdot AR}=\frac{AQ}{2AR}$$ が成り立ち，同様に $$\sin \angle AEF=\frac{AP}{2AR}$$ が成り立つから， $$EF=AF\cos\angle EFA+AE\cos\angle AEF=AP\sqrt{1-\frac{AQ^2}{4AR^2}}+AQ\sqrt{1-\frac{AP^2}{4AR^2}}.$$