OMC144(D)

　一般性を失わず $AB=1$ とできることに注意する．このとき，$CA=x, CB=y$ とおけば， $$x^2+y^2\lt1,\quad x+y\gt1,\quad x\gt0,\quad y\gt0$$ で与えられる領域（下図の青色部）を直線 $y=-k(x-2)-2$ が通過するような $k$ の範囲を考えることに帰着される．この直線はつねに定点 $(2,-2)$ を通ることに注意して下図から判断すれば，以下のことがわかる．

• 直線が $(0,1)$ を通る場合が，傾きの上限 $-3/2$ を与える．
• 直線が単位円の上半分と接する場合が，傾きの下限 $-\big(4+\sqrt{7}\big)/3$ を与える．

なお，位置関係によっては，$(1,0)$ にあたる点を通る場合も候補に入る可能性があることに注意せよ．
　傾きが $-k$ で与えられることから，以上より $$m=\frac{3}{2}, \quad M=\frac{4+\sqrt{7}}{3}, \quad P(x)=\pm(12x^2+4x-9)$$ とわかり，解答すべき値は $\bf 120391$ である．