OMC142(E) - 対称性を式で処理

　端の制約をなくして $4000$ 回 $P$ を移動させることを考える．このとき求める確率は $(0, 4000), (1, 3999), \ldots, (2000, 2000)$ のどれかにいる確率であるから $$\sum_{k=0}^{2000}\frac{{}_{4000}\mathrm C_r}{2^{4000}} = \frac{2^{4000} + {}_{4000}\mathrm C_{2000}}{2^{4001}}\mathrel{\left(=\frac{2^{3999} + {}_{3999}\mathrm C_{1999}}{2^{4000}}\right)}\mathclose{}.$$ あとは本解説と同様（ただカッコの前の形で ${}_{p-1}\mathrm C_r \equiv (-1)^r \pmod p$ を使うとラク）．