OMC132(E) - Lagrange の未定乗数法

$$f(x, y) = 2x^2+xy-y^2$$ $$g(x, y) = 3x^2+2xy+2y^2-100$$ $$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$$ とおく ($\lambda$: 実数). $g(x, y)=0$ のもとで $f(x, y)$ が極値をとるのは, $$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$$ の解である. 連立して解くことで, $$(x, y) = \pm\left(\frac{2}{3}\sqrt{45+15\sqrt{5}}, \frac{1}{6}\left(15-7\sqrt{5}\right)\sqrt{9+3\sqrt{5}}\right), \ \pm\left(\frac{2}{3}\sqrt{45-15\sqrt{5}}, -\frac{1}{6}\left(15+7\sqrt{5}\right)\sqrt{9-3\sqrt{5}}\right)$$ を得る. 前者では$f(x, y) = 30\sqrt{5}$, 後者では$f(x, y) = -30\sqrt{5}$ となり, それぞれ $f(x, y)$ の極大値と極小値である. よって, $f(x, y)^2$ の極大値は $\bold{4500}$ であり, これが最大値である.

• $f(x, y)^2$ の極大値が最大値であること (最大値が存在すること) は 定義域 $g(x, y)=0$ がコンパクトで $f(x, y)^2$ が連続であることから示せるが, コンテストのルール上そう決めつけて解いてしまえばよい.
• 本問では連立方程式を解くのがやや繁雑であり, 公式解説のような解き方が理想的である. 一方, Lagrange の未定乗数法は巧みな工夫や発想なく適用できるので, 解法の候補として身に着けておくとよいだろう.
• 類題: OMC112(C)