OMC126(E)

　三角形の形状があらかじめわかっているので, 座標計算でゴリ押してみましょう.
　余弦定理から $\angle{BAC}=60^{\circ}$ がわかるので, $A(0,0), B(4,4\sqrt3), C(5,0)$ とおいてみます. 今, 簡単な計算により $$M\left(\frac{9}{2}, 2\sqrt3\right), E(4,0), F\left(\frac{5}{4}, \frac{5\sqrt3}{4}\right), H(4,\dfrac{1}{\sqrt3}), P\left(\frac{180}{89}, \frac{80\sqrt3}{89}\right)$$ がわかります. なお, $P$ については, $2$ 直線の交点として愚直に計算しても出ますし, 直線 $AP$ が三角形 $AEF$ のsymmedianであることから, $EP:FP=AE^2:AF^2=64:25$ であることを使っても出ます.
　さて, $4$ 点 $D,H,P,X$ が同一円周上にあることから, 方べきの定理より $$AP\times{AX}=AH\times{AD}$$ であり, また$$AH\times{AD}=AE\times{AC}=20$$ だから $AP\times{AX}=20$ です. 今,$$AP=\sqrt{\left(\frac{180}{89}\right)^2+\left(\frac{80\sqrt3}{89}\right)^2}=\frac{20\sqrt{129}}{89}$$ であるから $AX=\dfrac{89}{\sqrt{129}}$ であり, 計算することによって, $X$ の $x$ 座標が $\dfrac{267}{43}$ と求まります.
　したがって, $Y$ の $x$ 座標は $$2\times\frac{9}{2}-\frac{267}{43}=\frac{120}{43}$$ であり, $Y\left(\dfrac{120}{43}, \dfrac{160\sqrt3}{129}\right)$ となるから, 線分 $YH$ の長さは, $$\sqrt{\left(\frac{120}{43}-4\right)^2+\left(\frac{160\sqrt3}{129}-\frac{1}{\sqrt3}\right)^2}=\frac{13\sqrt{43}}{43}$$ と求まりました.