OMC122(F)

三角関数でゴリ押す方法です。
$AP=BP$より、$AB$の中点を$M$とおくと$\angle PMB= 90^{\circ}$となる.
$\angle BPC=x,\angle MBC=y$とおくと、$PB=\frac{7}{\sin(x+y)},PC=\frac{7\cos{x}}{\sin(x+y)}$がわかり、正弦定理より$DC=\frac{7\cos{x}\cos{y}}{\sin(x+y)\cos(y-x)}=3$なので、$7\cos{x}\sin{x}=3\sin(x+y)\cos(y-x)$と変形できる。
さらに、倍角公式と積和変換を使うことで、$2\sin{2x}=\frac{3}{2}\sin{2y}$と変形できる。
よって$\sin{2x}:\sin{2y}=3:4$で、正弦定理より$\sin{x}:\cos{y}=3:2$なので$\cos{x}:\sin{y}=1:2$である。
ここまでくれば$\sin{x},\cos{x},\sin{y},\cos{y}$が求まるので$\tan$の加法定理を使えば$MP=\sqrt{15}$とわかる。
よって$\triangle ABP$の面積は$14\times \sqrt{15} \times \frac{1}{2}=7\sqrt{15}$なので、求める値は$\textbf{735}$である。