OMC120(D)

$$\begin{aligned} N^2 &= (a_i\gt a_{i+1} を満たす iの個数)\times (a_j\gt a_{j+1} を満たす jの個数)\\ &=(a_i\gt a_{i+1} および a_j\gt a_{j+1}を満たす i,j の個数) \end{aligned}$$

であるから，$a_i\gt a_{i+1}$ および $a_j\gt a_{j+1}$ を満たすような置換 $\{a_n\}$ の個数を $S_{i,j}$ とすると， $$M=\dfrac{1}{1000!}\left(\sum_{1\leq i,j \leq 999}S_{i,j}\right)$$が成り立つ．これと $$S_{i,j}=\left\{ \begin{aligned} \dfrac{1000!}{2}&　(|i-j|=0のとき)\\ \dfrac{1000!}{6}&　(|i-j|=1のとき) \\ \dfrac{1000!}{4}&　(|i-j|\geq 2のとき) \end{aligned} \right.$$ より， $$\begin{aligned} M &=\dfrac{1}{1000!}\left(\dfrac{1000!}{2}\times999+\dfrac{1000!}{6}\times998\times2+\dfrac{1000!}{4}\times(999\times998-998\times2)\right)\\ &=\dfrac{748751}{3} \end{aligned}$$ となり，解答すべき値は $\bf 748754$ である．