OMC120(F)

解答と微妙に違う方針です。発想方法についてもできるだけ明文化します。
$a+b+c=4 \cdots ①$
$abc+ad+bd=-160 \cdots ②$
$ab+ac+bc+d=-36 \cdots ③$
$abd=k \cdots ④$
上の $3$ つの式を見ると，$a,b,c$ の $3$ 変数については対象式がしっかり揃っており，下の $3$ つの式を見ると，何となく $d$ で括ると気分が良さそうな雰囲気が漂っています。
そこで，まずは $(x+a)(x+b)(x+c)$ のような形を作ってみてはどうかと考えましょう。
$②+③×x+①×x^2+x^3$ を作ってみると，左辺が次の式になります。
$(x+a)(x+b)(x+c)+(a+b)d+dx$
ここまでくると，さらに全体を $x$ 倍して④を加えると，$(x+a)(x+b)$ で括れていい感じになりそうです。
ということで，$②×x+③×x^2+①×x^3+④$ をしましょう。
$(x+a)(x+b)(x^2+cx+d)=x^4+4x^3-36x^2-160x+k$ となります。
$a,b,c,d$ が実数となる必要十分条件は，右辺が二つの実数解を持つことです。あとは，微積分の知識を用いて頑張って最小値を計算しましょう。