OMC117(E)

　公式解答における次の条件式を解くパートの補足です $$n=2\lceil 2\sqrt{n+2}\rceil-1　(n\in\mathbb{N})　・・・※$$ $\lceil 2\sqrt{n+2}\rceil$が面倒なのでこれを$k$と置いてしまいましょう．天井関数の定義より次の不等式を得ます． $$k-1\lt2\sqrt{n+2}\leq k$$ $※$ より $n=2k-1$ であるので, 先ほどの不等式は $k$ についての $2$ 次不等式に帰着できます. $$k-1\lt2\sqrt{2k+1}\leq k　\Longrightarrow　k^2-10k-3\lt 0\leq k^2-8k-4$$ この連立不等式を $k\in\mathbb{N}$ の範囲で解くと $k=9,10$ を得ます．すなわち $n=17,19$ です．
実際に $n=17,19$ が $※$ を満たすことを確認して十分性をチェックすればOKです．

　速解きをしたいのなら
・ $※$ から $n$ は奇数である必要があるなあ
・左辺の方が速く増加するなあ
・ということは当てずっぽうで $n$ を得れば終わりだなあ
・ $n=17,19$ を入れてみたらうまくいった
・ $n=13,15,21,23$ あたりはダメだったから $n=17,19$ で決まりだろう
くらいのお気持ちで雑に解けます．（本質は $t=x-x^{-1}$ 置換なので許してください）