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OMC116

OMC116(E)

ユーザー解説 by Tempurabc

∠APD=θ\angle\mathrm{APD}=\theta と置く。∠BPC=240∘−θ\angle\mathrm{BPC}=240^\circ-\theta である。また，AP=BP=x\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=x，CP=DP=y\mathrm{CP}=\mathrm{DP}=y と置く。求めたいものは △ABP+△CDP+5=34(x2+y2)+5\triangle \mathrm{ABP}+\triangle \mathrm{CDP}+5=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x^2+y^2)+5 であり，x2+y2x^2+y^2 の値が求まれば良い。
面積の条件より，xy{sin⁡θ+sin⁡(240∘−θ)}=10xy \{ \sin \theta+\sin(240^\circ-\theta)\}=10を得る。
また余弦定理より x2+y2−2xycos⁡θ=16x^2+y^2-2xy \cos \theta =16，x2+y2−2xycos⁡(240∘−θ)=36x^2+y^2-2xy \cos (240^\circ-\theta) =36，引き算することで次を得る：
xy{cos⁡θ−cos⁡(240∘−θ)}=10xy\{\cos\theta-\cos(240^\circ-\theta)\}=10
加法定理を用いて sin⁡(240∘−θ)\sin(240^\circ-\theta)，cos⁡(240∘−θ)\cos(240^\circ-\theta) を sin⁡θ\sin\theta，cos⁡θ\cos\theta で表して連立方程式を解けば，xycos⁡θ=15−533xy\cos\theta=\dfrac{15-5\sqrt{3}}{3}を得る。
よって，x2+y2=16+2xycos⁡θ=78−1033x^2+y^2=16+2xy \cos \theta=\dfrac{78-10\sqrt{3}}{3}
これより 34(x2+y2)+5=5+1332\dfrac{\sqrt{3}}{4}(x^2+y^2)+5=\dfrac{5+13\sqrt{3}}{2} を得る。