OMC114(F)

点数: 500

Writer: Shota_1110

　$xy$ 平面上の $7$ 定点 $$\begin{aligned} &P(-3, 0), &&R(3,0)\\ &Q_1(-1, -1), &&Q_2(-1, 1), &Q_3(0, 1-\sqrt{3}), \\ &Q_4(1, 1), &&Q_5(1, -1) \end{aligned}$$ に対し，円周 $O$，折れ線 $M$，円弧 $C$ をそれぞれ次のように定めます．

• 点 $P$ を中心とした半径 $1$ の円周を $O$ とする．
• すべて両端を含む $4$ 本の線分 $Q_1Q_2,Q_2Q_3,Q_3Q_4,Q_4Q_5$ を合わせてできる折れ線を $M$ とする．
• 点 $R$ を中心とした半径 $1$ の円周のうち $x \leq 3 + (\sqrt{3} / 2)$ の範囲に含まれる部分にあたる円弧を $C$ とする．

　$O, M, C$上から点を $1$ 個ずつ取り，それぞれ $X, Y, Z$ とおきます. $3$ 点 $X,Y,Z$ の重心が存在し得る領域の面積を $S$ としたとき，最大公約数が $1$ であるような $4$ 個の正の整数 $a, b, c, d$ を用いて $\displaystyle S = \frac{a \pi + b \sqrt{3} + c}{d}$ と表すことができるので，$a + b + c + d$ の値を解答してください．