OMC113(F)

　$O(0,0),A(1/4,0),B(0,1/3)$ とすれば, 各円の直径は線分 $OA,OB,AB$ である. ここで $O$ を中心とする半径 $1$ の円によって反転を行うと, $A,B$ はそれぞれ $A^{\prime}(4,0),B^{\prime}(0,3)$ に移るから, 各円の像は $$C^{\prime}_1:x=4,\quad C^{\prime}_2:y=3,\quad C^{\prime}_3:3x+4y=12$$ これらは $3$ 辺を $3,4,5$ とする直角三角形をなす. $C_0$ の像はこの三角形直角内の傍接円であり, その半径は $6$, 中心は $(-2,-3)$ であることが容易にわかる. ここで, 以下の事実に留意する：

事実.　中心 $O$, 半径 $1$ の円で中心 $X$, 半径 $r$ の ($O$ を通らない) 円 $C$ を反転したとき, その像にあたる円の半径は $\displaystyle\frac{r}{|r^2-OX^2|}$ で表される.

証明.　$OX$ と $C$ の $2$ 交点が移る先を考えればよい. $C$ の像において, これら $2$ 交点の像は直径をなす. (証明終)

　元の問題に適用すれば, $C_0$ の半径は $\displaystyle\frac{6}{6^2-(2^2+3^2)}=\frac{6}{23}$ であり, 解答すべき値は $\textbf{29}$ である.