OMC112(C) - Lagrange の未定乗数法

$$f(x, y, z, w) = 99x+100y+101z+102w$$ $$g(x, y, z, w) = xy+xz+xw+yz+yw+zw - 1$$ $$L(x, y, z, w, \lambda) = f(x, y, z, w) - \lambda g(x, y, z, w)$$ とおく ($\lambda$: 実数). $g(x, y, z, w)=0$ のもとで $f(x, y, z, w)$ が極値をとるのは, $$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial L}{\partial z}=\frac{\partial L}{\partial w}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$$ の解である. 連立して解くことで, $$(x, y, z, w) = \left(\frac{35}{\sqrt{6731}}, \frac{34}{\sqrt{6731}}, \frac{33}{\sqrt{6731}}, \frac{32}{\sqrt{6731}}\right)$$ を得る. このとき, $f(x, y, z, w) = 2\sqrt{6731}$ であるから, 求める値はこの二乗で, $\bold{26924}$ である.

• 厳密には, Lagrange の未定乗数法は極値が存在することを前提としており, また極値が最小値かどうかは別途検証する必要がある. 今回は解が唯一であるため, コンテストのルール上この値で決め打ちして回答してしまえばよいだろう.
• 類題: OMC132(E)