OMC112(B)

ほぼ相似の一発ゲーで解ける解法です.

三角形 $ABC$ の内心を $I$ とし，三角形 $ABC$ の内接円と $FH$ の交点を $G(\neq F)$ とする. このとき，簡単な角度計算から三角形 $GED$ と三角形 $IAB$ は相似であり，よって $AF:FB=EH:HD$. さらに $AE=AF, BE=BD$ より $AE:EH=BD:DH$ であり，また $\angle AEH=\angle BDH$ であるから，三角形 $AEH$ と $BDH$ は相似. したがって，$AF=x$ とすると，$\angle AHF=\angle BHF, \angle BHD=\angle DHF$ より，$AH:HB=AF:FB, HB:HF=BD:DF$ から $AH:HF=AF:DP=x:15-x$ となる. 以下，三角形 $HECP$ の面積に注目することで $22×15-x^2=20(22-x)-(20-x)(15-x)$，つまり $x=\dfrac{38}{3}$ が導けるので，$BC=42-2x=\dfrac{50}{3}$，したがって解答すべき値は $\textbf{53}$ である.