OMC108(F)

$$\frac{a^2-bc}{2a-b-c}=\frac{a^2-b(b-M)}{2a-b-(b-M)}=\frac{a^2-b^2+bM}{2a-2b+M}=b+\frac{(a-b)^2}{2(a-b)+M}$$ $a-b=x$とおくと $|2a-b-c|=|2x+M|$. そして, $a, b, c$はすべて相異なることから $x\neq 0, -M$ , つまり $|2x+M|\neq M$ が分かる. $$\frac{a^2-bc}{2a-b-c}=b+\frac{x^2}{2x+M}=b+\frac{2x-M+\frac{M^2}{2x+M}}{4}=b-x+\frac{\frac{M^2}{2x+M}-(2x+M)}{4}$$ $\frac{M^2}{s}-s$が整数であり$4$で割り切れるとき $s$と$M$の偶奇が一致することが分かるので, $2x+M$を整数$s$に置き換えても良い.　　　　　　　　 $\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}$が整数になるような整数$s$すべてで, $|s|$の取りうる値が$1000$種類, つまり$\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}$が整数になるような正整数$s$の個数が$s=M$を含めて$1001$個になる最小の$M$を見つければよい.
$M$が奇数のとき, $\frac{M^2}{s}-s$が整数なら必然的に$4$の倍数になるので, $M^2$の正の約数が$1001$である最小の$M$を求めればよい. そのような数は$3^6 \times 5^5 \times 7^3$.
$M$が4の倍数ではない偶数のとき, $s$も偶数であることが計算によりわかるので, $M=2m, s=2t$とおくと, $\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}=\frac{\frac{m^2}{t}-t}{2}$　$m$は正の約数を$1001$個もつ奇数なので, 最小の$M$は $2 \times 3^6 \times 5^5 \times 7^3$.
$M$が$4$の倍数の時, $s$も$4$の倍数であることが計算によりわかるので, $M=4m, s=4t$とおくと, $\frac{\frac{M^2}{s}-s}{4}=\frac{m^2}{t}-t$　$m$は正の約数を$1001$個持つ正整数なので, 最小の$M$は $2^8 \times 3^5 \times 5^3$.
よって最小の$M$は$2^8 \times 3^5 \times 5^3$.