OMC107(D)

　幾何的な解法も書いておきます.

$A(0,0), B(1,0)$ とおくと, $C$ の通過領域は $(\dfrac{6}{7},0)$ と $(\dfrac{6}{5},0)$ を結んだ線分を直径とする円になるため, $D(\dfrac{36}{35},0)$ と定義すると $C$ の通過領域は $D$ を中心とする半径 $\dfrac{6}{35}$ の円である.

ここで, 問題文で与えられた条件を満たすのは $\angle ACD=90^\circ$ のときであり, これは $AD:DC=\dfrac{36}{35}:\dfrac{6}{35}=6:1$ より$AD:DC:CA=6:1:\sqrt{35}$ と同値である.

以上より問題文で与えられた条件を満たすとき, $BC=AD*\dfrac{AC}{AD}*\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{36}{35}*\dfrac{\sqrt{35}}{6}*\dfrac{1}{6}=\sqrt{\dfrac{1}{35}}$