OMC106(C)

点数: 500

Writer: utime

　$n$ を正の整数とします．AliceとBobは以下の手順に従ってゲームを行います．

1. はじめ，何も書き込まれていない $1\times 6$ のマス目がある．
2. まず，Aliceは $1$ 以上 $n$ 以下の整数を $1$ つ宣言する．それまでに宣言した数字と同じものを宣言しても構わない．
3. 次に，Bobはまだ数字が書き込まれていないマスを $1$ つ選び，そこにAliceが宣言した数字を書き込む．
4. その後，すべてのマスに数字が書かれているならばゲームを終了する．そうでないならば，2. へ戻る．

　ゲームが終了したとき，隣り合うマス目に書かれた値の差の絶対値 $5$ つのうち最小のものをこのゲームにおける得点とします．また各正整数 $n$ に対し，次を満たす最小の整数 $k$ を $f(n)$ とします.

• Aliceの戦略によらず，Bobは得点を $k$ 以下にすることができる.

　このとき，$f(1)+f(2)+\cdots+f(2022)$ の値を求めてください．

【21:42 追記】Aliceはマス目の状態をつねに確認できるものとします．