OMC106(F)

　$A, B, C, X, Y, O$が同一直線上にないとしても確率は変わらないので, そう仮定する. また, 三角形 $DEF$ の符号付面積を $S(DEF)$ と表記する.
　ある $5$ つの点に $A, B, C, X, Y$ を一回ずつ割り当てる方法は $120$ 通りあるが, そのうち問題の条件を満たすように割り当てる方法は, $5$ 点の凸包が $5, 4$ 角形の時 $40$ 通り, $3$ 角形の時 $24$ 通りであることが確認できる. よって, 円 $\omega$ の内部にランダムに点を $5$ つ独立に取った時にその凸包が $3$ 角形である確率が $s$ であるとすると, 求める確率 $p$ は $$\frac{40}{120}(1-s)+\frac{24}{120}s=\frac{1}{3}-\frac{2}{15}s$$ であることが分かる. また $$s =(円 \omega の内部にランダムに点を 3 つ (P, Q, Rとおく) を取った後さらに 2 点とった時に,$$ $$その 2 点が最初に取った 3 点を頂点とした三角形の領域内にある確率) \times {}_5 \mathrm{C}_3$$$$=10S(PQR)^2$$ なので, $S(PQR)^2$の平均を計算すればよい.
　$P, Q$ を $O$ で点対称移動をした点をそれぞれ $P’, Q’$ とする. $S(QOP)=a, S(ROQ)=b, S(POR)=c$ とすると, $S(PQR), S(P’QR), S(PQ’R), S(P’Q’R)$ はそれぞれ $a+b+c, -a+b-c, -a-b+c, -a+b+c$ なので, $$S(PQR)^2+S(P’QR)^2+S(PQ’R)^2+S(P’Q’R)^2=(a+b+c)^2+(-a+b-c)^2+(-a-b+c)^2+(-a+b+c)^2$$ $$=4(a^2+b^2+c^2)$$ よって, $$S(PQR)^2の平均=3S(QOP)^2の平均$$ であることが分かる. $$3(QOP)^2の平均=\frac{3}{4}(OP^2の平均)(OQ^2の平均)(\frac{\int_0^{2\pi}sin^2\theta d\theta}{2\pi})=\frac{3}{4}\frac{1}{2\pi}\frac{1}{2\pi}\frac{\pi}{2\pi}=\frac{3}{32\pi^2}$$ したがって, $$p=\frac{1}{3}-\frac{2}{15}s=\frac{1}{3}-\frac{2}{15}\frac{30}{32\pi^2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{8\pi^2}$$ 求める値は$\textbf{3206681}$.