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OMC106 (for experts)

OMC106(D) - 不等式でゴリ押せ！

ユーザー解説 by HighSpeed

※幾何的な工夫を必要としない，不等式でゴリ押しする解法です

　AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=xAB = a,\, BC = b,\, CD = c,\, DA = d,\, AC = x とおく．このとき Heron の公式を用いるか，または以下のような，第二余弦定理を用いた式変形によって S(ABC)=ab2sin⁡B=ab21−cos⁡2B=ab21−(a2+b2−x22ab)2=12(ab)2−(a2+b2−x22)2 S(ABC) = \frac{ab}2 \sin B = \frac{ab}2 \sqrt{1 - \cos^2 B} = \frac{ab}2\sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}{2ab}\right)^2} = \frac12\sqrt{(ab)^2-\left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}2\right)^2} となり，同様に S(ACD)=12(cd)2−(c2+d2−x22)2. S(ACD) = \frac12\sqrt{(cd)^2-\left(\frac{c^2 + d^2 - x^2}2\right)^2}. 　したがって AB2+BC2+CD2+DA23S(ABC)+5S(CDA)=a2+b2+c2+d232(ab)2−(a2+b2−x22)2+52(cd)2−(c2+d2−x22)2 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ≥AM-GM ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ a2+b2+c2+d232(a2+b22)2−(a2+b2−x22)2+52(c2+d22)2−(c2+d2−x22)2=a2+b2+c2+d232x22(a2+b2−x22)+52x22(c2+d2−x22)=132X(P−X)+52X(1−P−X)=234((3X(P−X)+5X(1−P−X))232+52)−12 ⁣ ⁣  ≥CS ⁣ ⁣  217(32 X(P−X)32+52 X(1−P−X)52)−12=217×1X(1−2X)=117X(12−X)≥117(14)2=1617.\begin{aligned} \frac{AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2}{3S(ABC) + 5S(CDA)} &= \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{\frac32\sqrt{(ab)^2-\left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}2\right)^2} + \frac52\sqrt{(cd)^2-\left(\frac{c^2 + d^2 - x^2}2\right)^2}} \\ &\!\!\!\!\!\!\!\:\stackrel{\smash{\text{AM-GM}}}\ge\!\!\!\!\!\!\!\: \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{\frac32\sqrt{\left(\frac{a^2 + b^2}2\right)^2-\left(\frac{a^2 + b^2 - x^2}2\right)^2} + \frac52\sqrt{\left(\frac{c^2 + d^2}2\right)^2-\left(\frac{c^2 + d^2 - x^2}2\right)^2}} \\ &= \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{\frac32\sqrt{\frac{x^2}2 \left(a^2 + b^2 - \frac{x^2}2\right)} + \frac52\sqrt{\frac{x^2}2 \left(c^2 + d^2 - \frac{x^2}2\right)}} \\ &= \frac1{\frac32\sqrt{X \left(P - X\right)} + \frac52\sqrt{X \left(1 - P - X\right)}} \\ &= \frac2{\sqrt{34}} \left(\frac{\left(3\sqrt{X \left(P - X\right)} + 5\sqrt{X \left(1 - P - X\right)}\right)^2}{3^2 + 5^2}\right)^{-\frac12} \\ &\!\!\;\stackrel{\text{CS}}\ge\!\!\; \sqrt{\frac2{17}} \left(\frac{3^2\, X \left(P - X\right)}{3^2} + \frac{5^2\, X \left(1 - P - X\right)}{5^2}\right)^{-\frac12} \\ &= \sqrt{\frac2{17}} \times \frac1{\sqrt{X \left(1 - 2X\right)}} = \frac1{\sqrt{17X \left(\frac12 - X\right)}} \\ &\ge \frac1{\sqrt{17 \left(\frac14\right)^2}} = \sqrt{\frac{16}{17}}. \end{aligned} ただし P≔a2+b2a2+b2+c2+d2,X≔x22(a2+b2+c2+d2).P \coloneqq \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2},\qquad X \coloneqq \frac{x^2}{2 \left(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\right)}. このとき，各不等式の等号成立条件： a=bandc=d,19(P−X)=125(1−P−X)  ⟺  P=934,X=14 a = b\quad \text{and}\quad c = d,\qquad \frac19 \left(P - X\right) = \frac1{25} \left(1 - P - X\right) \iff P = \frac9{34},\qquad X = \frac14 は与えられた図で実現可能であるから， K=1617K = \sqrt{\dfrac{16}{17}} が分かり，答えは 33\textbf{33}．