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OMC105 (for beginners)

OMC105(F)

ユーザー解説 by natu_math

ここでは外接円を用いない解法を紹介します．特に補題2は覚えておくと時々使えて便利です．

次の2つの補題を用いる．
　補題1: ∠AIO=90∘\angle AIO=90^\circ のとき AB+AC=2BCAB+AC=2BC
　補題2: AB⋅AC−BD⋅CD=AD2AB\cdot AC-BD\cdot CD=AD^2

補題1と角の二等分線の定理より AB+AC=20,　AB:AC=7:3⟹AB=14,　AC=6AB+AC=20,　AB:AC=7:3\Longrightarrow AB=14,　AC=6 したがって補題2より AD2=14⋅6−7⋅3=63AD^2=14\cdot6-7\cdot3=\textbf{63} を得る.

補題1の証明:
辺 AB,ACAB,AC の中点をそれぞれ M,NM,N とすると5点 A,O,I,M,NA,O,I,M,N は同一円周(線分 AOAO を直径とする円)上にある．
したがって内接円と辺 AB,ACAB,AC の接点をそれぞれ E,FE,F とすれば, ∠IME=∠INF,　IE=IF⟹△IME≡△INF⟹ME=NF\angle IME=\angle INF,　IE=IF\Longrightarrow\triangle IME\equiv\triangle INF\Longrightarrow ME=NF が成り立つので次の計算により所望の式を得る． AB+AC−BC=AE+AF=(AM−ME)+(AN+NF)=12(AB+AC)AB+AC-BC=AE+AF=(AM-ME)+(AN+NF)=\dfrac{1}{2}(AB+AC)

補題2の証明:
余弦定理および AB⋅CD=AC⋅BDAB\cdot CD=AC\cdot BD を用いて 　AB2+AD2−BD22AB⋅AD=AC2+AD2−CD22AC⋅AD⟹AC(AB2+AD2−BD2)=AB(AC2+AD2−CD2)⟹(AB−AC)(AB⋅AC−AD2)=AC⋅BD2−AB⋅CD2=AB⋅BD⋅CD−AC⋅BD⋅CD=(AB−AC)(BD⋅CD)\begin{aligned} &　\dfrac{AB^2+AD^2-BD^2}{2AB\cdot AD}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2AC\cdot AD}\\ &\Longrightarrow AC(AB^2+AD^2-BD^2)=AB(AC^2+AD^2-CD^2)\\ &\Longrightarrow (AB-AC)(AB\cdot AC-AD^2)=AC\cdot BD^2-AB\cdot CD^2=AB\cdot BD\cdot CD-AC\cdot BD\cdot CD=(AB-AC)(BD\cdot CD) \end{aligned} よって AB⋅AC−BD⋅CD=AD2AB\cdot AC-BD\cdot CD=AD^2 が示された．