OMC103(E) - 遠回り？

※ 本質的には他の解説と同じかもしれないです

　線分 $BC$ の中点を $M$，$M$ から直線 $OA$ におろした垂線の足を $H$ とすると，$\triangle AOG$ と $\triangle AHM$ の相似比が $2 : 3$ であることや三平方の定理などを利用して，以下の式たちが成立する．

• $BC^2 = 4 \left(BO^2 - MO^2\right)$
• $BO^2 = \left(\triangle ABC\text{ の外接円の半径}\right)^2 = AO^2 = 100$
• $MO^2 = HO^2 + HM^2$
• $HO^2 = \left(\dfrac12\, AO\right)^2 = 25$
• $HM^2 = \left(\dfrac32\, GO\right)^2 = \dfrac94\, GO^2$
• $GO^2 = AG^2 - AO^2 = 21$

　よってこれらを順に代入していって，$BC^2 = \mathbf{111}$ を得る．