OMC103(E)

ベクトルを用いて解きます.

$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$とおきます.

このとき条件は以下の式で表されます.

• $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$
• $|\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}-\vec{a}|=11$
• $|\vec{a}|=10$
• $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\cdot\vec{a}=0$

これらを整理して,

• $|\vec{a}|^2=|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2$
• $4|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{b}\cdot\vec{c}-4\vec{c}\cdot\vec{a}=1089$
• $|\vec{a}|^2=100$
• $|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{c}\cdot\vec{a}=0$

以上の式から特に$|\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2=100,\vec{b}\cdot\vec{c}=\frac{89}{2}$が分かります.
したがって求める値は,
$$BC^2=|\vec{c}-\vec{b}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}=\mathbf{111}$$