OMC103(E) - Euler 線を知らない場合の幾何学的解法

$BC$の中点を$M$とすると, $M$は直線$AG$上にあり, $$AM=\frac{3}{2}AG=\frac{33}{2}$$ $$\cos{\angle OAM}=\frac{AO}{AG}=\frac{10}{11}$$ $$BO=AO=10$$ $$\angle OMB=90\degree$$ 三角形$OAM$において余弦定理より, $$OM^2=AO^2+AM^2-2AO \times AM \cos{\angle OAM}=\frac{289}{4}$$ 三角形$OBM$において三平方の定理より, $$BM^2=BO^2-OM^2=\frac{111}{4}$$ よって, $BC^2=(2BM)^2={\bf 111}$.