OMC098(E)

　私が test していた時の解法を載せておきます．

　（前半）与式の分母，分子をそのまま $x$ 座標，$y$ 座標としても解くことができます．

• 与式は $xy$ 座標平面上で $(0,0)$ と以下の点を結ぶ直線の傾きに等しい： $$(\cos\theta + 2\cos \phi + 60, \sin\theta + 2\sin\phi + 63)$$ また，この点は以下の点を中心とする半径 $1$ の円の周上を動く： $$(2\cos\phi + 60, 2\sin\phi + 63)$$ さらにこれは $(60,63)$ を中心とする半径 $2$ の円の周上を動くから，結局元の点の動き得る範囲は $(60,63)$ を中心とする半径 $3$ の円から半径 $1$ の同心円を除いたものであることが分かる．これより，$(60,63)$ を中心とする半径 $3$ の円の $(0,0)$ を通る接線を引いたとき，明らかに与式は最大値・最小値を取る．

　（後半）この場合だと求める値は三角関数を用いても求められます．ただ解説のように距離を取った方がきれいだと思います．

• $(0,0)$ と $(60,63)$ を結ぶ直線と $x$ 軸のなす角を $\alpha$ とし，上記の接線とこの直線のなす角を $\beta$ とすれば，二接線の傾きは $\tan(\alpha+\beta), \tan(\alpha-\beta)$ であるから，加法定理より求める値は $$\begin{aligned} \tan(\alpha+\beta)\tan(\alpha-\beta)&= \left(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\right)\left(\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right) \\ &= \frac{\tan^2 \alpha - \tan^2\beta}{1-\tan^2\alpha\tan^2\beta} \end{aligned}$$ これに $\tan^2\alpha=441/400, \tan^2\beta=1/840$ を代入することで，求める値は $440/399$ であり，解答すべき値は $\textbf{839}$ である．