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OMC098

OMC098(E)

ユーザー解説 by pomodor_ap

sin⁡θ+2sin⁡φ+63cos⁡θ+2cos⁡φ+60=a\dfrac{\sin \theta+2\sin \varphi+63}{\cos \theta+2\cos \varphi+60}=a とすると，sin⁡θ+2sin⁡φ+63=a(cos⁡θ+2cos⁡φ+60)\sin \theta+2\sin \varphi+63=a(\cos \theta+2\cos \varphi+60) (sin⁡θ−acos⁡θ)+2(sin⁡φ−acos⁡φ)=60a−63(\sin \theta-a\cos \theta)+2(\sin \varphi-a\cos \varphi)=60a-63 ここで，sin⁡θ−acos⁡θ\sin \theta-a\cos \theta の最大値は 1+a2\sqrt{1+a^2}，最小値は −1+a2-\sqrt{1+a^2} なので，sin⁡θ+2sin⁡φ+63cos⁡θ+2cos⁡φ+60=a\dfrac{\sin \theta+2\sin \varphi+63}{\cos \theta+2\cos \varphi+60}=a を満たす θ,φ\theta, \varphi が存在する条件は −31+a2≤60a−63≤31+a2-3\sqrt{1+a^2}\leq 60a-63\leq 3\sqrt{1+a^2} であり，さらにこれは (20a−21)2≤1+a2(20a-21)^2\leq 1+a^2，つまり 399a2−840a+440≤0399a^2-840a+440\leq 0 と変形でき，最大値と最小値の積はこれの等号を満たす 22 つの値の積に等しいので，440399\dfrac{440}{399}，つまり解答すべき値は 839\textbf{839} である．