OMC092(F)

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Writer: HighSpeed

　以下で定まる $S, T$ について，$S + T$ は互いに素な正整数 $p, q$ を用いて $\dfrac pq$ と表されます． $$S = \sum_{n=1}^{1200} \frac{n^2 + n + 1}{n\left(n + 1\right)\left(n + 1\right)!},\quad T = \sum_{n=1}^{1200} \frac{n^2 + 2n + 2}{n\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)!}.$$ このとき，$p + q + 1$ の十進法による表記で末尾に並ぶ $0$ の個数を求めてください．