OMC090(D)

　一般に $3226$ を偶数 $n$ とおき, 問題の方程式の左辺を $P(x)$ とする.
$$\begin{aligned} x^{n}P\left(\frac{1}{x}\right) & =x^{n}\left(\frac{1}{x}-x_{1}\right)\left(\frac{1}{x}-x_{2}\right)\cdots\left(\frac{1}{x}-x_{n}\right)\\ & =\left(x_{1}x-1\right)\left(x_{2}x-1\right)\cdots\left(x_{n}x-1\right)\\ & =x_{1}x_{2}\dots x_{n}\left( x-\frac{1}{x_{1}} \right)\left( x-\frac{1}{x_{2}} \right)\cdots\left( x-\frac{1}{x_{n}} \right)\\ & =(n+1)\left( x-\frac{1}{x_{1}} \right)\left( x-\frac{1}{x_{2}} \right)\cdots\left( x-\frac{1}{x_{n}} \right) \end{aligned}$$ 　が成り立つから, この式に $x=1$ を代入すれば, $$P(1)=(n+1)\left( 1-\frac{1}{x_{1}} \right)\left( 1-\frac{1}{x_{2}} \right)\cdots\left( 1-\frac{1}{x_{n}} \right)$$ 　したがって, 以下の計算により求める値は $$\left( 1-\frac{1}{x_{1}} \right)\left( 1-\frac{1}{x_{2}} \right)\cdots\left( 1-\frac{1}{x_{n}} \right)=\frac{P(1)}{n+1}=\frac{\frac{3227\times 3228}{2}}{3227}=\mathbf{1614}.$$