OMC088(D)

点数: 300

Writer: 2_3_5_7

　OMC君はOMC図書館を経営するために専用の部屋を用意して，本棚と監視カメラを設置することにしました．ここで，以下の条件をみたすようにします．

• 部屋は真上から見て $1$ 辺の長さが $5 \ \mathrm{m}$ の正方形である．
• 本棚は直方体でその奥行きは $1 \ \mathrm{m}$ であり，下図のように左右それぞれの壁に側面を接触させて計 $2$ つ設置する．接触させる位置は下図の通り（上下それぞれに $1 \ \mathrm{m}$ の位置）で固定であり，幅のみ自由に変えられる．
• 監視カメラは周囲 $360^\circ$ で十分遠くまで捉えられるものを $2$ 台，部屋のすべての場所を捉えられるよう設置する．ただし，カメラの大きさは無視でき，本棚の内部には設置できないものとする．

たとえば下図のようにカメラと本棚を設置した場合，カメラが捉える範囲は赤く塗られた部分です．
　OMC君は本をできるだけ多く置きたいので，本棚の幅の和を最大化したいです．その最大値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b} \ \mathrm{m}$ と表されるので，$a+b$ を解答してください．