OMC087(A) - 対称点を取らない方法

　公式解説の $C^\prime$ に気づけなくても $BM^2 = AM \times CM$ を得る方法です！

　まず，仮定より $BC : DC = AB : AD$．$M$ を中点連結定理で活かしたいので，$AB$ の中点を $N$ とおくと，仮定と合わせて $$AN : MN = \frac{AB}2 : \frac{AD}2 = AB : AD = BC : DC.$$ また $AD \mathrel{/\!/} NM$ および円に内接する四角形の性質を用いて $$\angle ANM = 180^\circ - \angle BNM = 180^\circ - \angle BAD = \angle BCD.$$ よって二辺比夾角相等より $\triangle ANM$ と $\triangle BCD$ は相似であり $$\angle BAM = \angle NAM = \angle CBD = \angle CBM.$$ 同様の議論で $\angle ABM = \angle BCM$ も分かるので，二角相等より $\triangle ABM$ と $\triangle BCM$ も相似．したがって $AM : BM = BM : CM$ より $BM^2 = AM \times CM$．