OMC087(A)

　線分 $BD$ の垂直二等分線に関して $C$ と対称な点を $C^\prime$ とする. $A,B,C^\prime,D$ が共円であることに気をつければ $$\triangle ABC^\prime = AB\times BC^\prime \times \sin \angle ABC^\prime = C^\prime D\times DA\times\sin\angle C^\prime DA = \triangle C^\prime DA$$ であるから, 線分 $AC^\prime$ と線分 $BD$ の交点は線分 $BD$ の中点である. よって方べきの定理より $$BM^2 = AM\times C^\prime M = AM\times CM$$ を得る. また, 中線定理より $$AB^2 + AD^2 = 2(BM^2 + AM^2)$$ が成立する. 上の二式をあわせて解くことで $AM = \bf{113}$ を得る.