OMC087(D)

$2$つの大学をそれぞれ$A$大学，$B$大学とし，それぞれの大学の学生を$A_1,A_2,\ldots A_{10}$及び$B_1,B_2,\ldots B_{10}$とします．
さらに，最初に振り分けられたグループをグループ$1$～$5$として，グループ$1$には$A_1,A_2,B_1,B_2$，グループ$2$には$A_3,A_4,B_3,B_4$，$\ldots$，グループ$5$には$A_9,A_{10},B_9,B_{10}$が所属していたとします．
組み換え後のグループを考えると，グループ$1$に所属していた人だけがいないグループ，グループ$2$に所属していた人だけがいないグループ，$\ldots$，グループ$5$に所属していた人だけがいないグループの$5$つのグループができるのでそれぞれグループ$1^{\prime}$～$5^{\prime}$とします．
ここで，組み換え後において$A_1,A_2,B_1,B_2$はそれぞれ別のグループに所属することになり，それぞれグループ$2^{\prime}$,$3^{\prime}$,$4^{\prime}$,$5^{\prime}$に所属したことにすれば対称性からこの場合の$4!$倍が答えになります．
この時残り学生の振り分けについて考えると，グループ$1^{\prime}$の$4$人は元々グループ$2,3,4,5$でそのうち$2$人が$A$大学出身，グループ$2^{\prime}$の$3$人は元々グループ$3,4,5$でそのうち$1$人が$A$大学出身，$\ldots$，グループ$5^{\prime}$の$3$人は元々グループ$2,3,4$でそのうち$2$人が$A$大学出身，となります．
元々のグループと出身大学の対応付け(グループ$1^{\prime}$を除く)$81$通りを全て書き出すと，全体で同一グループに所属していた$A$大学出身者が$2$人ずつになるようにグループ$1^{\prime}$の対応付けができるのはそのうち$36$通りです．
最後に$A_3$と$A_4$，$A_5$と$A_6$，$\ldots$，$B_9$と$B_{10}$を区別して考えていなかったのでそれぞれを入れ替えたパターンを考え$2^8$倍する必要があります．
したがって求める場合の数は
$$4!×36×2^8=\mathbf{221184}.$$